Eu/Mim

  "Eu" tem a função de sujeito e sempre aparece antes do verbo."mim" é usado após uma preposição e não tem a função de sujeito na oração.
Exemplos:
  Eu fiz o bolo.("eu"é sujeito)
Abra a porta para eu entrar.
("entrar" é verbo)
  Por mim ,você  faz qualquer coisa.
("por" é preposição)
  Ente mim e ela está tubo bem.
("entre" é preposição).